主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一種在多個變數中識別和提取關鍵特徵的方法。它的主要目的是通過創建少數幾個主成分來概括大量數據中的主要信息，這些主成分是原始變數的線性組合，彼此之間不相關。PCA 的工作原理可以概括為以下幾個步驟：
數據標準化：首先，對原始數據進行標準化處理，以消除不同變數之間的尺度差異。這是因為PCA是基於協方差矩陣計算的，而標準化可以確保所有變數的貢獻被平等考慮。
計算協方差矩陣：標準化後的數據用於計算協方差矩陣，該矩陣描述了不同變數之間的相關性。
特徵值分解：對協方差矩陣進行特徵值分解，得到特徵值和對應的特徵向量。特徵值反映了每個特徵方向上的方差，而特徵向量則表示了相應特徵方向的權重。
特徵值排序和選擇：將特徵值按照大小排序，選擇最大的k個特徵值對應的特徵向量作為主成分。這些主成分對應了數據中最重要的特徵。
數據投影：將原始數據投影到選定的主成分上，得到一個新的低維數據矩陣。這個過程可以看作是將原始數據在主成分上的投影的線性組合。
PCA 的優點包括降低數據集的維度、減少計算開銷、去除噪聲以及提高結果的易理解性。它廣泛套用於數據降維、數據可視化、特徵提取和回歸分析等多個領域。通過PCA，研究者可以在保留大部分原始信息的同時，簡化數據分析的過程。