和角公式的推導可以通過幾何方法和三角恆等變換來完成。以下是詳細的推導過程：
幾何方法：
考慮單位圓上的兩點P(cosβ, sinβ)和Q(cosα, sinα)。
向量PQ的坐標為(cosα - cosβ, sinα - sinβ)。
向量PQ的模的平方為|PQ|² = (cosα - cosβ)² + (sinα - sinβ)²。
套用餘弦定理，|PQ|² = |PO|² + |QO|² - 2|PO||QO|cos(β - α)。
由於|PO| = |QO| = 1，上式簡化為2 - 2cos(β - α)。
因此，2 - 2cos(β - α) = 2 - 2(cosαcosβ + sinαsinβ)，從而得到cos(β - α) = cosαcosβ + sinαsinβ。
三角恆等變換：
正弦的和角公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
餘弦的和角公式：cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
正切的和角公式：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)。
正切的和角公式：tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)。
通過上述推導，我們得到了和角公式的基本形式，這些公式在三角函式的套用中非常重要。