擴展歐幾里得定理是關於整數a和b的最大公約數(GCD)的一個重要性質，它表明對於任意非零整數a和b，存在整數x和y，使得ax+by=GCD(a,b)。這個定理是歐幾里得算法的擴展，後者是用來計算兩個整數的最大公約數的經典算法。
具體來說，擴展歐幾里得定理的證明過程如下：
當b=0時，GCD(a,b)等於a本身，此時x=1,y=0。
當b不為0時，我們可以套用歐幾里得算法的原理，即GCD(a,b)=GCD(b,a mod b)。這意味著我們可以找到整數x1和y1，使得ax1+by1=GCD(a,b)。同時，我們也可以找到整數x2和y2，使得bx2+(a mod b)y2=GCD(b,a mod b)。通過比較這兩個等式，我們可以找到新的整數x和y，使得x1=y2和y1=x2-(a/b)*y2。這樣，我們就得到了滿足ax+by=GCD(a,b)的新的整數解x和y。
擴展歐幾里得算法不僅用於計算兩個數的最大公約數，還可以用於求解模線性方程及方程組。此外，它還可以用來找到一個數的乘法逆元，即在模運算中，找到一個數x，使得ax≡1(mod f)，其中a和f是整數，且f是素數。當a與f互素時，乘法逆元存在。
綜上所述，擴展歐幾里得定理是一個強大的工具，它不僅幫助我們理解整數的最大公約數的性質，還可以套用於解決模運算中的各種問題。