曼海姆定理描述了一個關於圓和三角形的有趣性質，具體內容如下：
內心情況：
當一圓與三角形ABC的外接圓內切，並與直線AB, AC相切於D, P, Q時，PQ的中點為三角形ABC的內心。
這一情況下，內心位於PQ的中點上，且PQ通過內心。
旁心情況：
當一圓與三角形ABC的外接圓外切，並與直線AB, AC相切於D, P, Q時，PQ的中點為三角形ABC的旁心。
在這種情況下，旁心同樣位於PQ的中點上，且PQ通過旁心。
特殊圓的定義：
所謂的「偽旁切圓」是指一個特殊的圓，它切三角形的兩邊所在的直線以及三角形的外接圓。這種特殊的圓帶來了曼海姆定理中描述的不尋常性質。
證明方法：
證明過程涉及到對位似圓的套用，以及利用圓周角、弦切角等幾何性質來證明內心的存在。對於旁心的證明，雖然過程更為複雜，但同樣依賴於位似和圓的相關性質。
綜上所述，曼海姆定理展示了圓與三角形之間的一種特殊關係，通過這個定理，我們可以更深入地理解幾何學中的一些基本概念和性質。