期望值，也稱為數學期望，是機率論中的一個重要概念，用於衡量隨機變數的平均取值。它通過將隨機變數可能取的值乘以各自的機率，然後將這些乘積求和得到。如果隨機變數是離散的，期望值的計算公式為 (E(X) = \sum x \times P(X=x)]\)，其中 \(x\) 表示隨機變數 \(X\) 可能取的值，\(P(X=x)\) 是 \(X\) 取 \(x\) 的機率。如果是連續型隨機變數，期望值的計算公式為 \(E(X) = \int [x \times f(x)] dx\)，其中 \(f(x)\) 是[機率密度函式。
期望值的概念不僅限於統計學和機率論，它也被套用於經濟學、決策理論等領域。例如，在投資決策中，期望值可以幫助評估不同投資方案的預期收益。如果期望值為正，表示預期收益超過風險；如果期望值為負，表示風險超過收益。
期望值的概念還可以通過具體例子來理解。例如，考慮一個擲骰子的遊戲，每一面朝上的機率為 (1/6)，結果分別為1到6。根據期望值的計算公式，期望值 (E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \ldots + 6 \times \frac{1}{6} = 3.5)。這意味著，如果多次擲骰子，平均每次可以贏得3.5美元。
期望值的概念也可以用於評估風險和收益的關係。例如，在股票投資中，可以根據股票的勝率和敗率計算數學期望，從而評估長期投資的預期收益。
總之，期望值是一個強大的工具，可以幫助我們評估隨機現象的平均結果，並在決策過程中考慮可能的結果及其機率。