伯努利不等式是一種在實數範圍內的重要不等式，由瑞士數學家雅各布·伯努利提出。伯努利不等式的一般形式如下：如果 ( x > -1 ) 且 ( n ) 是正整數，那麼 ( (1+x)^n \geq 1+nx )。這個不等式的含義是，對於任何大於-1的實數 ( x ) 和任何正整數 ( n )，( (1+x) ) 的 ( n ) 次方總是大於或等於 1 加 ( n ) 乘以 ( x )。伯努利不等式在機率論、數學分析、最佳化理論等許多數學領域都有套用，例如，它可以用來證明實數的一些基本性質，如實數的連續性和實數的完備性，也可以用來證明一些更複雜的數學理論，如泰勒級數的收斂性等。
此外，伯努利不等式的一些特定情況包括：
當 ( x > -1 ) 且 ( n \geq 0 ) 時，( (1+x)^n \geq 1+nx ) 成立。
當 ( 0 \leq n \leq 1 ) 且 ( 0 \leq x \leq 1 ) 時，( (1+x)^n \leq 1+nx ) 成立。
當 ( n > 1 ) 且 ( h = 0 ) 時，等號成立。
這些特定情況進一步擴展了伯努利不等式的套用範圍，使其在更廣泛的數學和物理問題中發揮作用。