特徵值和特徵向量的求解可以通過以下步驟進行：
定義特徵值公式：對於給定的 n x n 矩陣 A 和標量 λ，特徵值滿足條件 ( (A - \lambda I)x = 0 )，其中 I 是單位矩陣，x 是 n 維列向量。這個公式用於找到使得 ( (A - \lambda I) ) 不可逆的 λ 值，即 ( \det(A - \lambda I) = 0 ) 時的 λ 值。
求解特徵值：
首先，計算 ( \det(A - \lambda I) ) 並令其等於 0。
解這個方程得到 λ 的值，這些值即為矩陣 A 的特徵值。
求解特徵向量：
對於每個求得的特徵值 λ，解方程 ( (A - \lambda I)x = 0 )。
這將給出矩陣 A 對應於特徵值 λ 的特徵向量 x。
示例：
假設有一個矩陣 ( A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \ 1 & 4 \end{bmatrix} )。
求特徵值：
根據公式，( (A - \lambda I) = \begin{bmatrix} 3-\lambda & -2 \ 1 & 4-\lambda \end{bmatrix} )。
計算行列式 ( \det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(4-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 7\lambda + 10 )。
令行列式等於 0，解得 ( \lambda = 2 ) 或 ( \lambda = 5 )。
求特徵向量：
對於 ( \lambda = 2 )：( (A - 2I)x = 0 ) 變為 ( \begin{bmatrix} 1 & -2 \ 1 & 2 \end{bmatrix}x = 0 )。
解得特徵向量 ( x_1 = (-1, 1) )。
對於 ( \lambda = 5 )：( (A - 5I)x = 0 ) 變為 ( \begin{bmatrix} -2 & -2 \ 1 & -1 \end{bmatrix}x = 0 )。
解得特徵向量 ( x_2 = (1, 1) )。
因此，矩陣 A 的特徵值為 2 和 5，對應的特徵向量分別為 ( (-1, 1) ) 和 ( (1, 1) )。