特徵向量是矩陣理論中的一個重要概念，它們線上性變換下保持方向不變或僅被伸縮。與特徵向量相關聯的標量稱為特徵值，它表示特徵向量在變換中的伸縮比例。通過分析特徵值和特徵向量，可以深入了解線性變換對空間中向量的影響，從而理解矩陣的性質和行為。
特徵值和特徵向量的幾何意義可以解釋為伸縮變換和旋轉變換。當特徵值為正時，特徵向量在變換中被拉伸；特徵值為負時，被壓縮；特徵值為零時，被壓縮到一條線上。此外，當特徵值是複數時，特徵向量的實部和虛部可以描述旋轉的方向和角度，表明線性變換中存在旋轉變換。
在物理含義上，特徵向量和特徵值描述了一個運動的圖景。例如，當特徵值大於1時，所有屬於此特徵值的特徵向量會放大；特徵值在0到1之間時，特徵向量會縮小；特徵值小於0時，特徵向量會反向縮小至0點另一側。
特徵向量和特徵值在多個領域中都有廣泛套用，如物理、化學、生態學、圖像處理、人臉識別和數據流模式挖掘等。例如，在圖像處理中，可以通過選取特徵值最高的k個特徵向量來進行PCA方法，達到降維分析和特徵顯示的目的。