特徵多項式是一個重要的數學概念，它可以通過以下方式定義：
對於矩陣：
特徵多項式是矩陣 ( A ) 的特徵值為變數的多項式，定義為 ( \det(A - \lambda I) )，其中 ( \det ) 表示行列式，( I ) 是單位矩陣，( \lambda ) 是一個標量。
對於線性運算元：
如果 ( V ) 是復矢量空間，( T \in L(V) )，( T ) 有特徵值 ( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n )，它們的重數為 ( d_1, d_2, \ldots, d_n )，那麼多項式 ( q(z) = (z - \lambda_1)^{d_1}(z - \lambda_2)^{d_2} \ldots (z - \lambda_n)^{d_n} ) 叫做 ( T ) 的特徵多項式。
一般定義：
特徵多項式是一個以特徵值為變數的多項式，它可以定義在任何交換環上的方陣上。要理解特徵多項式，首先需要了解特徵值與特徵向量的概念，它們是緊密相關的。設 ( A ) 是方陣，如果 ( \lambda ) 是方陣的特徵值，對應於特徵值 ( \lambda ) 的特徵向量，那麼這樣的數 ( \lambda ) 就稱為方陣的特徵值。特徵多項式與線性方程組有密切聯繫，特別是它與係數行列式為0的非零解的存在性有關。
綜上所述，特徵多項式是數學中一個重要的工具，它不僅在矩陣理論中有著廣泛的套用，也線上性運算元和線性方程組的研究中發揮著關鍵作用。