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球面三角公式

球面三角公式主要包括以下幾個方面:

球面三角形的邊長計算。任意一邊的長度 \(a, b, c\) 可以通過對應的球面角 \(A_0, B_0, C_0\) 和球的半徑 \(R\) 來計算,公式為 \(a = A_0 \times R\),\(b = B_0 \times R\),\(c = C_0 \times R\)。

球面角的計算。可以通過餘弦定理或正弦公式來計算球面角。餘弦定理公式為 \(A = \arccos\left( \frac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c} \right)\),同理可以計算出球面角 \(B\) 和 \(C\)。另外,球面超(spherical excess)\(E\) 可以計算球面角的和,公式為 \(E = A + B + C - \pi\)。

球面三角形的面積計算。面積 \(S\) 可以通過球面超和球的半徑 \(R\) 來計算,公式為 \(S = E \times R^2\)。

球角錐體積的計算。如果球面三角形被包含在一個大球中,形成的球角錐的體積 \(V\) 可以通過三角形的面積 \(S\) 和球的半徑 \(R\) 來計算,公式為 \(V = \frac{S \times R}{3}\)。