黎曼曲面
黎曼面，也稱為黎曼曲面，是由德國數學家黎曼提出的一種數學概念，主要用於研究多值解析函式的單值定義域。以下是黎曼面的定義和特點：
定義：
黎曼面是一種連通的Hausdorff空間，具有以下特性：
存在一個開覆蓋{Uα}，使得X ⊂ ⋃α∈ΛUα。
對於每個開集Uα，存在一個映射ϕα: Uα → Vα，其中Vα是複平面中的一個開集。
對於任意的Uα和Uβ，它們之間的交集要麼是空集，要麼通過映射ϕα和ϕβ可以構成一個解析映射。
特點：
黎曼面是一維複流形，也可以視為二維實流形。
它是一種帶有復結構的連通Hausdorff空間。
黎曼面的定義中，坐標卡集（Atlas）的等價類決定了黎曼面上的復結構。
例子：
複平面中的任何連通開集。
二維歐式空間中的任何連通開集。
黎曼球面，由複數加上一個無窮遠點構成，是一個良好的幾何和解析對象。
影響：
黎曼面的概念對近現代數學的發展產生了深遠影響，推動了代數幾何、代數拓撲、多元複分析、微分幾何、偏微分方程等多個數學分支的發展。
黎曼面理論已經成為現代數學的一把重要鑰匙，用於探索和理解更複雜的數學對象和原理。