不完全性定理

哥德爾不完全性定理（Godels incompleteness theorem）是一系列關於形式演繹系統的元定理，由奧地利裔美國數學家哥德爾在1931年提出。這些定理揭示了任何包含初等數論的一致形式系統中都存在不可判定命題，即在這樣的系統中，某些命題及其否定都不是該系統的定理。哥德爾第一定理指出，在上述系統中存在不可判定的真命題，而哥德爾第二定理則指出，一個包含數論的形式系統的一致性在系統內部是不可證明的。

這些定理對邏輯學和數學基礎的研究產生了深遠的影響，標誌著邏輯科學現代發展的新階段。哥德爾不完全性定理與塔爾斯基的形式語言的真理論、圖靈機和判定問題一起，被視為現代邏輯科學在哲學方面的三大成果。哥德爾不完全性定理的提出，否定了希爾伯特方案，即通過完全形式化系統及其證明來證明系統一致性的嘗試。

哥德爾不完全性定理的深刻含義在於，存在有意義的數學真理超出了任何給定形式系統的證明能力。這一發現不僅對邏輯和數學基礎的研究產生了重大影響，也對其他數學領域產生了直接影響。