"五子三元"一詞包含「五子登科」和「連中三元」兩個典故。
"五子登科"典故出自《三字經》，記載於《宋史·竇儀傳》。五代後周時期，燕山府有個叫竇禹鈞的人，記取祖訓，教導兒子們仰慕聖賢，刻苦學習，其家教甚嚴，建書房40間，買書數千卷，聘請文行之士為師受業。四方有志學者自至。5個兒子聰穎早慧，文行並優，為人處世，不愧不怍，結果先後登科及第，時人贊為「竇氏五龍」。他的五個兒子都品學兼優，先後登科及第：竇禹鈞本人也享受八十二歲高壽，無疾而終。當朝太師馮道還特地寫了首詩：「燕山竇十郎，教子有義方;靈椿一株老，丹桂五技芳。」《三字經》也以「竇燕山，有義方，教五子，名俱揚」的句子，歌頌此事;又逐漸演化為「五子登科」的吉祥圖案，寄託了一般人家期望子弟都能像竇家五子那樣連袂獲取功名。
"連中三元"典故源於封建社會科舉考試制度。科舉制度經過長期演變和改革，逐步固定為鄉試、會試、殿試三級的形式。鄉試由各省主持的考試，考中的稱為「舉人」，第一名稱為「解元」。會試由禮部在京城主持，考中的稱為「貢生」，第一名稱為「會元」。殿試則是由皇帝親自主持的最高級別的考試，考中的稱為「進士」，第一名稱為「狀元」。如果在鄉試、會試、殿試中連續獲得第一名，就被稱為「連中三元」。