數學的一個分支
泛函分析是數學的一個分支，主要研究函式空間及其上的線性運算元。
泛函分析綜合運用函式論、幾何學和現代數學的觀點，來研究無限維向量空間上的泛函、運算元和極限理論，可以看作是無限維向量空間的解析幾何及數學分析。泛函分析的主要對象是函式構成的空間，如巴拿赫空間、希爾伯特空間等，以及在這些空間上定義的線性運算元，如緊運算元、自伴運算元等。其主要方法包括範數、內積、正交、極小值、共軛空間、投影定理、閉圖像定理、譜理論等。其中，譜理論是泛函分析的核心之一，它通過研究運算元的本徵值和本徵向量來描述運算元的性質。
泛函分析在數學物理方程、機率論、計算數學等學科中都有廣泛套用，同時也是研究具有無限個自由度的物理系統的重要數學工具。例如，在量子力學中，希爾伯特空間被用來描述量子態；在控制論中，線性運算元被用來描述控制系統的穩定性和可控性；在信號處理和圖像處理中，傅立葉級數和傅立葉變換被廣泛使用；在最佳化問題中，泛函分析被用來求解最最佳化問題。