有界數列必有收斂子列
緻密性定理，也稱為波爾查諾-維爾斯特拉斯定理，表述為：有界數列必有收斂子列。這個定理可以這樣理解：
內容表述：任何有界數列都包含至少一個收斂的子序列。這意味著，如果一個數列的值被限制在某個有限範圍內（即有界），那麼這個數列中一定可以找到一個子序列，這個子序列會收斂到一個特定的數值。
證明方法：可以通過不斷將數列的區間一分為二，並套用抽屜原理來證明。具體來說，如果數列的項落在區間[a,b]內，我們可以將這個區間一分為二，由於數列的有界性，至少有一個子區間會包含數列的一半以上的項。然後對這個子區間繼續進行劃分，重複這個過程，最終可以得到一個收斂的子序列。
重要性和套用：緻密性定理在數學分析中非常重要，它不僅是一個基本的存在性定理，而且對於理解實數系中的序列和極限概念非常關鍵。此外，它在其他數學領域，如微分方程和函式逼近論中也有廣泛的套用。
與聚點定理的關係：緻密性定理也可以從極限點的角度來理解，即有界數列必有極限點。這意味著，如果一個數列是有界的，那麼它至少接近於某個特定的數值（極限點），儘管這並不意味著整個數列本身收斂。
綜上所述，緻密性定理是一個強大的工具，它幫助我們理解實數系中序列的行為，並且是分析學中的一個基本概念。