伊藤引理（Ito's lemma）是隨機微分方程中的一個重要工具，用於描述隨機過程中的函式變化。以下是伊藤引理的基本形式和套用：
基本形式：
假設變數 \( X \) 遵循伊藤過程，即 \( dX = \mu(X, t)dt + \sigma(X, t)dW \)，其中 \( \mu \) 和 \( \sigma \) 是 \( X \) 和時間 \( t \) 的函式，\( dW \) 是維納過程。
對於任意函式 \( G(X, t) \)，其微分 \( dG \) 可以表示為：
\[ dG = \left( \frac{\partial G}{\partial X} \mu + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 G}{\partial X^2} \sigma^2 \right) dt + \frac{\partial G}{\partial X} \sigma dW \]
套用：
伊藤引理不僅適用於一維情況，還可以擴展到多維情況，處理更複雜的隨機過程。
在金融工程中，伊藤引理用於定價衍生金融產品，如期權和股票。
在物理學和工程學中，伊藤引理用於描述隨機系統中的動態變化。
簡化形式：
如果 \( G(X, t) \) 是線性函式或者 \( \mu \) 和 \( \sigma \) 不依賴於 \( X \)，則伊藤引理可以簡化為 \( dG = (aG + b)dt + c(t)dW \)，其中 \( a, b, c \) 是常數或時間 \( t \) 的函式。
通過上述簡化形式，可以更直觀地理解伊藤引理在特定情況下的套用。