切比雪夫插值是一種特殊的插值方法，它基於切比雪夫多項式來選取插值節點的位置，目的是最小化插值誤差。在數值分析中，插值誤差的公式可以表示為：
[ f(x) - P(x) = \frac{1}{n!}(x - x_{1})(x - x_{2})\cdots(x - x_{n})f^{(n)}(c) ]
其中 ( f(x) ) 是被插值函式，( P(x) ) 是插值多項式，( x_i ) 是插值節點，( f^{(n)}(c) ) 是函式 ( f(x) ) 的第 ( n ) 階導數在某一點 ( c ) 的值。這個公式表明插值誤差取決於節點之間的距離以及被插函式的第 ( n ) 階導數。
切比雪夫插值的關鍵在於選擇節點，使得在給定區間上，這些節點的函式值能夠最大限度地分散開來，從而減少插值誤差。具體來說，如果選擇 ( n ) 個節點 ( x_1, x_2, \ldots, x_n ) 使得它們滿足 ( x_i = \cos\left( (2i - 1)\pi / 2n \right) )，那麼這些節點在 ( [-1, 1] ) 區間上能夠使得插值誤差達到最小。這是因為這樣的節點配置能夠使得 ( (x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_n) ) 的最大值儘可能小，從而減少插值誤差。
總結來說，切比雪夫插值是一種利用切比雪夫多項式來最佳化插值節點位置的方法，它能夠有效地減少插值誤差。