卡丹公式，也稱為卡爾達諾公式，是由義大利學者卡爾丹於1545年發表的，用於解一元三次方程。一元三次方程的標準型為 \(aX^3+bX^2+cX+d=0\)，其中 \(a,b,c,d \in R\) 且 \(a
eq 0\)。卡丹公式主要用於求解特殊型的一元三次方程 \(X^3+pX+q=0\) (其中 \(p,q \in R\))。
卡丹公式的求解步驟如下：
計算判別式：\(\Delta = \frac{q}{2}^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3\)
求解 \(Y_1\) 和 \(Y_2\)：\(Y_1, Y_2 = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}\)
計算根：使用公式 \(X_1 = (Y_1)^{1/3} + (Y_2)^{1/3}\)，\(X_2 = (Y_1)^{1/3} \omega + (Y_2)^{1/3} \omega^2\)，\(X_3 = (Y_1)^{1/3} \omega^2 + (Y_2)^{1/3} \omega\)
其中，\(\omega = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\) 是複數的立方根中的一個單位根。
卡丹公式適用於當一元三次方程的係數是實數時的情況。當係數是複數時，直接使用卡丹公式可能會遇到問題。此外，卡丹公式還可以通過變數代換將一般的一元三次方程轉化為特殊型進行求解。
卡丹公式的一個重要套用是它能夠解出三次方程的所有根，包括實根和復根。根據判別式的不同，可能存在一個實根和兩個復根、三個不相等的實根、或者一個三重零根等情況。這些解可以通過三角函式表達式來表示。