差分方程是一種描述離散系統演化的數學工具，它使用差分來代替微分，表示變數之間的依賴關係。差分方程通常由遞歸關係定義，其中序列中的每個元素由它之前的元素決定。一個一階差分方程的例子可以是：
\[ \Delta y_t = y_{t+1} - y_t \]
其中 \( \Delta \) 表示一階差分，\( y_t \) 是時間 \( t \) 的狀態變數，而 \( y_{t+1} \) 是下一時間點的狀態。差分方程可以表示系統的演化，預測未來的狀態，最佳化決策等。
差分方程的係數可以是常數，也可以是矩陣。例如，對於一階線性常係數差分方程：
\[ y_{t+1} + a y_t = b \]
其通解可以通過公式 \( y_t = C(-a)^t (-a)^t b / (a + 1) \) 計算，其中 \( C \) 是任意常數。
差分方程可以分為齊次和非齊次兩種類型。齊次差分方程的解只包含與 \( x(t) \) 相關的項，而非齊次差分方程則包含不同的函式 \( f(t) \)。非齊次線性差分方程的解可以通過特解和齊次方程的解之和得到。
差分方程在研究離散系統的行為和演化中非常重要，它們可以套用於各種領域，如物理學、工程學和社會科學等。