帕斯卡三角形公式是組合數學中的一個基本公式，它描述了組合數的一些性質。具體來說，帕斯卡三角形公式可以表述為：
帕斯卡三角形公式：
\[ C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k) \]
這個公式表明，組合數 \( C(n, k) \) 等於從 \( n-1 \) 個項目中選擇 \( k-1 \) 個項目的方式數與從 \( n-1 \) 個項目中選擇 \( k \) 個項目的方式數之和。這個公式是二項式定理的核心部分，它描述了帕斯卡三角形中相鄰兩項之間的關係。
帕斯卡三角形的定義是基於二項式定理的，二項式定理描述了 \( (x+y)^n \) 的展開式中各項的係數。在二項式定理中，組合數 \( C(n, k) \) 表示從 \( n \) 個項目中選擇 \( k \) 個項目的方式數。因此，帕斯卡三角形的每一項都對應一個二項式展開式中的係數。
帕斯卡三角形的性質還包括對稱性，即 \( C(n, k) = C(n, n-k) \)，以及每一行的數相加等於 \( 2^n \)。這些性質都是基於組合數學的基本原理和二項式定理的。
補充說明：
帕斯卡三角形公式也可以表示為 \( (n+1)C(r) = nC(r-1) + nC(r) \)，其中 \( C(r) \) 表示從 \( n+1 \) 個項目中選擇 \( r \) 個項目的方式數。這個公式表明從 \( n+1 \) 個項目中選擇 \( r \) 個項目的方式數等於從 \( n \) 個項目中選擇 \( r-1 \) 個項目的方式數與從 \( n \) 個項目中選擇 \( r \) 個項目的方式數之和。