旁心定理指的是在三角形中，每個角的外角平分線和相鄰角的內角平分線相交的點，即為三角形的旁心。具體來說，旁心定理包括以下幾個性質：
存在性：每個三角形都有三個旁心。
位置：旁心一定位於三角形外部。
性質：從旁心到三角形三邊的距離相等。
證明旁心定理的方法如下：
證明三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，即為旁心。
通過全等三角形的性質，可以證明旁心到三角形三邊的距離相等。
具體來說，如果點M是△ABC的一個旁心，那麼它位於三角形外部，且到三角形三邊的距離相等。這意味著，從旁心出發到三角形的任意一邊的垂線段長度是相同的。
旁心的概念與三角形的其他中心（如內心、外心、垂心等）不同，它們各自有不同的定義和性質。例如，內心是三角形內角平分線的交點，而外心是三角形三邊中垂線的交點。旁心的存在為三角形幾何學增添了豐富的內容。