有界性定理是數學中的一個基本概念，主要套用於實數理論和函式理論。在函式理論中，它指的是如果一個函式在某個區間上連續，那麼這個函式在該區間上是有界的。具體來說，如果函式 ( f(x) ) 在閉區間 ( [a, b] ) 上連續，那麼存在兩個實數 ( M ) 和 ( m )（其中 ( M > m )），使得對於所有 ( x ) 屬於 ( [a, b] )，都有 ( m \leq f(x) \leq M )。這意味著函式在區間 ( [a, b] ) 上的值被限制在一個有限範圍內，既不會無限增大也不會無限減小。
此外，有界性定理也適用於數列。一個數列被稱為有界的，如果它的每一項都滿足 ( |X_n| \leq X )（其中 ( X ) 是一個與 ( n ) 無關的常數）。這意味著數列的項既不會無限增大也不會無限減小。
證明有界性定理的方法包括：
套用有限覆蓋定理。通過證明函式在每個小區間上的值都有限，然後利用有限覆蓋定理得出結論。
套用緻密性定理。通過反證法，如果函式在某個區間上無上界，則可以構造一個無上界的數列。但是，由於緻密性定理，這個數列必須有一個收斂的子序列，從而導出矛盾。
綜上所述，有界性定理是數學分析中的一個重要工具，它不僅幫助我們理解函式的性質，也用於證明其他數學定理。