柯西中值定理是微分學中的基本定理之一，它是對拉格朗日中值定理的推廣。該定理的表述和幾何意義如下：
定理表述：
設函式 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 滿足以下條件：
在閉區間 ( [a,b] ) 上連續；
在開區間 ( (a,b) ) 上可導；
( g'(x) ) 在 ( (a,b) ) 上不為零；
( g(a)
eq g(b) )。
則存在 ( \xi \in (a,b) )，使得
[ \frac{f(\xi)}{g(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} ]
幾何意義：
柯西中值定理可以視為在參數方程下拉格朗日中值定理的表達形式。它表明，對於兩個端點之間的給定平面弧，至少有一個點，使曲線在該點的切線平行於兩端點所在的弦。具體來說，如果將 ( f ) 和 ( g ) 這兩個函式寫作以 ( x ) 為參量的參量方程 ( {u = g(x), v = f(x)} )，則在 ( uOv ) 平面上表示一段曲線。由於 ( \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} ) 表示連線該曲線兩端的弦的斜率，而 ( \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} ) 表示該曲線上的 ( x = \xi ) 相對應的一點處的切線的斜率，因此柯西中值定理表明至少存在一點 ( \xi )，使得該點的切線與弦互相平行。
套用：
柯西中值定理在數學分析中有廣泛的套用，特別是在解決涉及函式比值的問題時。它不僅提供了理論上的依據，也指導了解決實際問題的思路。例如，在證明某些中值等式時，可以通過柯西中值定理來推導和驗證。