柯西定理公式

柯西定理公式主要涉及柯西中值定理和柯西積分定理。以下是這兩個定理的詳細解釋和公式：

柯西中值定理：

如果函式 ( f(x) ) 和 ( F(x) ) 滿足以下條件：

在閉區間 ( [a,b] ) 上連續；

在開區間 ( (a,b) ) 內可導；

對任一 ( x \in (a,b) )，( F'(x)
eq 0 )，

那麼在 ( (a,b) ) 內至少有一點 ( \zeta )，使得等式
( \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(\zeta)}{F'(\zeta)} ) 成立。

柯西積分定理：

對於複平面上的單連通區域 ( D ) 內的解析函式 ( f(z) )，以下三個條件是互相等價的：

( f(z) ) 在 ( D ) 上沿任意可求長曲線的積分與路徑無關；

( f(z) ) 在 ( D ) 上沿任意可求長閉曲線的積分為零；

( f(z) ) 在 ( D ) 上有原函式。

柯西積分定理的套用之一是柯西積分公式，它表明如果 ( f(z) ) 在多邊形區域 ( D ) 內解析，且在 ( D ) 的邊界 ( \partial D ) 上連續，則 ( f(z) ) 在 ( D ) 內任一點 ( z_0 ) 的值可以由 ( \partial D ) 上的積分唯一確定。

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