柯西-施瓦茨不等式的證明可以通過多種方法進行，以下是幾種常見的證明方法：
構造二次函式法：
定義兩列數 `ai` 和 `bi`，構造二次函式 `f(x) = ∑(ai + x * bi)^2`。
由於二次函式 `f(x)` 的值必須非負，即 `f(x) ≥ 0` 對於所有實數 `x` 成立。
通過計算判別式 `Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2)`，得到 `Δ ≤ 0`。
從判別式的結果可以推導出柯西-施瓦茨不等式 `(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2`。
向量內積法：
將向量 `m = (a1, a2, ..., an)` 和 `n = (b1, b2, ..., bn)` 的內積表示為 `mn = a1b1 + a2b2 + ... + anbn`。
利用向量模的性質，即 `|m| * |n| = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)^1/2 * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)^1/2`。
由於向量內積的絕對值總是小於或等於向量的模長乘積，即 `|mn| ≤ |m| * |n|`。
從而得到 `a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)^1/2 * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)^1/2`。
作差法：
通過作差並配平方的方法，利用非負性的性質來證明不等式。
排序不等式法：
利用排序不等式的形式來表示柯西不等式，通過排序的性質來證明。
數學歸納法：
對於與 `n` 相關的不等式，可以使用數學歸納法進行證明。
以上各種方法均可用於證明柯西-施瓦茨不等式，具體選擇哪種方法取決於個人的偏好和理解方式。