複分析中的一個重要概念
柯西-黎曼方程是複分析中的一個重要概念,它提供了可微函式在開集中為全純函式的充要條件。這些條件可以表述為兩個偏微分方程,它們以柯西和黎曼的名字命名。柯西-黎曼方程可以寫成複數形式,這些形式對應於雅可比矩陣結構,幾何上表示旋轉和縮放的複合,因此保持角度不變,即保持共形(保角)。滿足柯西-黎曼方程的函式保持平面曲線的角度不變,這是函式成為共形映射的條件。此外,柯西-黎曼方程也是函式復可微性(或稱全純性)的充要條件。如果函式f在複平面上的某點z0的實部和虛部對x和y的偏導數存在,並且滿足柯西-黎曼方程,那麼f在z0處是全純的。反過來,如果f作為映射到R2上的函式可微,那麼f復可微若且唯若柯西-黎曼方程成立。