梯度流方程是描述物理系統中粒子或能量隨時間變化的數學表達式，其基本形式為 ( \frac{dX}{dt} = -
abla f(X) )。這裡，( X ) 代表系統狀態（如位置、速度等），( t ) 是時間，( f ) 是系統的能量函式或目標函式，(
abla f(X) ) 表示函式 ( f ) 在點 ( X ) 的梯度。梯度流方程表明系統狀態 ( X ) 的變化率與能量函式 ( f ) 在當前狀態下的梯度成反比，即系統總是朝著能量降低的方向演化。
在梯度下降算法中，疊代公式為 ( x_{k+1} = x_k - \gamma
abla f(x_k) )，其中 ( \gamma ) 是步長，( x_k ) 表示第 ( k ) 次疊代的狀態。如果將 ( x_k ) 視為連續函式 ( X(t) ) 在時間 ( t ) 的值，並且每次疊代步長 ( \gamma ) 的倍數為測試點，即 ( x_k = X(k\gamma) )，那麼當步長 ( \gamma ) 趨於零時，疊代過程可以通過求解常微分方程（ODE）( X'(t) = -
abla f(X(t)) ) 來近似。這個ODE描述了梯度流，即系統狀態的連續變化過程。在這種情況下，( X'(t) ) 表示 ( X(t) ) 關於時間 ( t ) 的導數，即系統狀態隨時間的瞬時變化率。