計算正交基的方法通常包括兩個步驟：正交化和單位化。以下是詳細的步驟說明：
正交化：
保持第一個向量不變，對後續的每個向量，從中減去與第一個向量平行分量的部分，以確保它們正交。
例如，如果有向量 \(a_1, a_2, a_3\)，且想要得到與 \(a_1\) 正交的其他向量，可以對 \(a_2\) 和 \(a_3\) 進行如下操作：
\(a_2' = a_2 - \frac{(a_2 \cdot a_1)}{|a_1|^2} a_1\)
\(a_3' = a_3 - \frac{(a_3 \cdot a_1)}{|a_1|^2} a_1 - \frac{(a_3' \cdot a_2')}{|a_2'|^2} a_2'\)
這個過程確保了新的向量與 \(a_1\) 正交，同時也儘可能地減少了它們之間的其他分量，以保持正交性。
單位化：
在正交化之後，每個向量都需要單位化，即將其模長調整為1。這可以通過將每個向量除以其模長來實現。
例如，單位化後的向量 \(b_i\) 可以計算為 \(b_i = \frac{v_i}{|v_i|}\)，其中 \(v_i\) 是正交化後的向量。
總結：
正交基是由相互正交的向量組成的向量組，其中每個向量都是單位向量。
在n維空間中，存在無數組正交基，這意味著對於給定的向量集，可以有多種方式將其轉化為正交基。
標準正交基是正交基的一種特殊情況，其中每個向量的模長都為1。