正交群是在數學中，特別是在群論和矩陣理論中一個重要的概念。以下是關於正交群的詳細解釋：
定義：正交群是由所有保持內積不變性的線性變換構成的群。在歐氏空間中，所有保持內積不變的正交變換構成的集合稱為正交群，通常表示為 \(O(n)\)。這意味著，對於任意兩個向量 \(x\) 和 \(y\)，以及任意 \(Q \in O(n)\)，都有 \(\langle Qx, Qy \rangle = \langle x, y \rangle\)。
性質：
正交群 \(O(n)\) 是一個有限維的李群，其元素是 \(n \times n\) 的實正交矩陣，即 \(QQ^T = I\)，其中 \(I\) 是單位矩陣。
正交群的切空間在單位矩陣 \(I\) 處由所有反對稱矩陣構成，這是因為對於任意 \(X \in T_I O(n)\)，有 \(X^T + X = 0\)。
正交群具有一個雙不變度量，這是從正交群到歐氏空間的嵌入中繼承下來的度量。對於任意的 \(X, Y \in T_I O(n)\)，它們的內積定義為 \(\langle X, Y \rangle = \text{Tr}(X^T Y)\)。
正交群上的左不變向量場可以通過給定反對稱矩陣 \(X\) 來定義，即 \(X(Q) = QX\)。這個向量場是左不變的、光滑的，並且相切的。
套用：正交群在物理學和工程學中有廣泛的套用，特別是在處理與旋轉和反射相關的變換時。例如，在三維空間中，旋轉矩陣就構成了一個正交群。
綜上所述，正交群是一個重要的數學概念，它不僅在理論數學中有其自身的價值，也在套用數學和物理中發揮著關鍵作用。