泰勒公式

泰勒公式是一個重要的數學公式，它描述了一個函式在某點的信息，用以表達該函式在其附近取值的近似值。這個公式得名於英國數學家布魯克·泰勒，他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式。

泰勒公式的內容是：如果函式f(x)在某點x=x0具有n階導數，那麼對於該點的一個小鄰域內的x，f(x)可以近似地表示為一個關於(x-x0)的多項式，這個多項式的係數是函式在x=x0處的各階導數值。這種近似方法在研究複雜函式性質時非常有用，並且是微分學的一個重要套用。

泰勒公式的標準形式為：f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)，其中Rn(x)是餘項，它表示了當(x-x0)^n趨向於0時的高階無窮小。

泰勒公式有許多套用，包括求函式的近似值、等價無窮小、證明不等式、求極限等。此外，泰勒公式也是求解方程根的一種方法，它通過假設函式在某點可以用多項式精確表示，從而展開為一系列減小的項，係數由函式的導數值決定。