泰勒近似公式是一種用於局部近似函式在某點的值的數學工具。它基於泰勒級數，該級數在函式在某點及其鄰域內無限可微的情況下展開。對於函式\( f(x) \)，其在點\( a \)處的泰勒級數展開可以表示為：
\[ P(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots \]
這意味著，如果函式\( f(x) \)在點\( a \)及其鄰域內無限可微，那麼可以通過計算該函式在該點的各階導數值，並使用上述公式來近似函式在該點附近的取值。例如，函式\( \ln(1 + x) \)在\( x = 0 \)點附近的泰勒級數展開，隨著級數項數的增加，它越來越接近真實值。這種近似在數學分析和科學計算中非常有用，因為它允許我們使用簡單的多項式來近似複雜的函式。