牛頓插值法是一種數學上用於插值的算法，它通過構建一個多項式來近似函式在特定區間上的值。這種方法的主要特點是，當增加新的數據點時，它只需要計算與新增點相關的差商，而不需要重新計算之前的所有步驟，這使得牛頓插值法在計算上更加高效。
牛頓插值法的基本原理是利用函式在若幹個點上的值，構造一個插值多項式。這個多項式在這些點上取已知的函式值，在區間內的其他點上則用此多項式的值作為函式值的近似。牛頓插值法通過計算各階差商，並使用這些差商來遞推地確定插值多項式的係數。這種方法相比於拉格朗日插值法，具有更好的數值穩定性和計算效率。
牛頓插值公式可以表示為：(P(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + \cdots + a_n(x - x_0)(x - x_1) \cdots (x - x_{n-1}))，其中(a_0, a_1, \cdots, a_n) 是多項式的係數，(x_0, x_1, \cdots, x_n) 是已知數據點的橫坐標。
牛頓插值法的優點包括其簡潔性和在增加或減少數據點時的計算效率。然而，它也有一些局限性，例如當數據點分布不均勻時可能會導致龍格現象（Runge's phenomenon），即在區間的兩端出現劇烈的振盪。因此，在實際套用中，應根據問題的具體特點選擇合適的插值方法。