瓦里斯公式是關於積分的一種公式，具體形式如下：
對於任意正整數 ( n )，有：
[ \int_{0}^{\pi/2} \sin^n x , dx = \frac{n-1}{n} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x , dx ]
這個公式可以通過分部積分法推導得出。根據這個公式，可以進一步推導出：
當 ( n ) 為偶數時，即 ( n = 2k )，有：
[ \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2k} x , dx = \frac{2k-1}{2k} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2k-2} x , dx = \frac{2k-1}{2k} \times \frac{2k-3}{2k-2} \times \ldots \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} ]
當 ( n ) 為奇數時，即 ( n = 2k+1 )，有：
[ \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2k+1} x , dx = \frac{2k}{2k+1} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2k-1} x , dx = \frac{2k}{2k+1} \times \frac{2k-2}{2k-1} \times \ldots \times 2 \times 1 ]
這些公式可以通過遞歸套用瓦里斯公式來推導。最終，可以得到：
對於偶數 ( n = 2k )，積分的結果為：
[ \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2k} x , dx = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \times \frac{\pi}{2} ]
對於奇數 ( n = 2k+1 )，積分的結果為：
[ \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2k+1} x , dx = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} ]
這些結果展示了瓦里斯公式在計算特定積分時的套用，並且通過遞歸和雙階乘的概念，可以簡潔地表達這些積分的結果。