申請香港特別行政區政府的社會福利綜援（公共援助）的流程如下：
提交申請。申請人需前往香港特別行政區政府的社會福利署或指定地點提交綜援申請。
提供證明檔案。申請人需要提交一系列證明檔案，包括身份證明、居住證明、收入證明等。
審核與評估。社會福利署將對申請人的資格和財務狀況進行審核與評估，以確定是否符合綜援條件。
發放綜援金。如果申請被批準，申請人將開始定期收到綜援金，用於滿足基本生活需要。
需要注意的是，申請人必須為香港居民，並在香港居住滿一定期限，需要證明自己的財務狀況確實無法維持基本生活需要，通常通過提交收入證明、資產聲明等材料來評估，而且綜援金主要用於滿足申請人的基本生活需要，如食物、住房、醫療等，申請人需按照規定的用途使用綜援金，並接受相關部門的監督。