科茨公式，也稱為布爾法則，是牛頓-科茨公式的一種特殊情況，適用於n=4的情況。它是一種數值積分公式，用於計算定積分的近似值。這種公式基於在積分區間上採用等距節點的插值多項式，並通過將多項式積分來近似定積分的值。
牛頓-科茨公式的一般形式為：
[ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \sum_{i=0}^{n} A_i f(x_i) ]
其中，( a ) 和 ( b ) 是積分區間的端點，( f(x) ) 是被積函式，( n ) 是插值多項式的次數，( x_i ) 是區間上的等距節點，( A_i ) 是插值多項式中 ( x^i ) 項的係數。權重函式 ( w(x) ) 和基函式 ( \omega(x) ) 的確定是該公式的關鍵部分，但這也涉及到一些數學推導和技巧。
科茨公式作為牛頓-科茨公式的一種特殊情況，其優點包括可以根據需要選擇合適的插值多項式次數 ( n ) 來平衡精度和計算複雜度。此外，它還可以通過將積分區間分成若幹個小區間，然後分別使用公式來計算每個小區間上的積分，從而提高精度。然而，確定權重函式 ( w(x) ) 和基函式 ( \omega(x) ) 是該公式的難點之一。
總的來說，科茨公式是一種高效的數值積分方法，適用於需要高精度且計算資源充足的情況。它通過利用函式在某一點處的導數信息，通過不斷遞推使用差商來逼近函式值，將函式的數值逼近問題轉化為求解差商的問題，可以通過遞推的方式快速求解多項式的係數。