數學理論
穩定性理論是研究系統在受到擾動後的運動能否返回到原平衡狀態的一種性能的數學理論。它主要關注於當初始條件甚至微分方程右端函數發生變化時，解隨時間增長的變化情況。穩定性理論在天體力學、自動控制等各種動力系統中都有着重要的應用，特別是在自動控制理論中，穩定性是一箇系統必須滿足的基本性能指標。
在數學上，穩定性理論被用於研究微分方程解的穩定性和動力系統在初始條件的微小擾動下軌跡的穩定性問題。穩定性理論包括李雅普諾夫第一法和第二法，其中第一法通過構造李雅普諾夫函數來判斷系統的穩定性，而第二法則通過分析系統的動態行爲來得出結論。
李雅普諾夫函數的幾何意義是表示狀態空間的原點到狀態\( x \)之間的距離，而\( V'(x) \)則代表在狀態\( x \)點處趨向狀態空間原點的速度。如果存在一箇具有連續一階偏導數的標量函數\( V(x,t) \)，並且滿足以下條件：\( V(x,t) \)是正定的；\( V(x,t) \)是負定的，則系統在狀態空間原點處的平衡狀態是一致漸近穩定的。
總的來說，穩定性理論提供了一種系統性的方法來分析系統的穩定性和不穩定性，無論是在理論上還是在實踐中都有着廣泛的應用。