群在集合上的作用，也稱為群作用，是指一個群在其定義的運算下的一個集合上的作用。這種作用可以通過一個映射來表示，該映射將群的元素與集合中的元素相結合，產生集合中的另一個元素。具體來說，如果G是一個群，Ω是一個集合，那麼群作用可以定義為一個映射f:G×Ω→Ω，滿足以下條件：
對於所有s∈Ω，e.s=s，其中e是群的單位元。
對於所有s∈Ω和g1,g2∈G，g1(g2(s))=(g1g2)(s)。
這意味著，單位元e在集合Ω上的作用是恆等變換，即對於任何s∈Ω，都有e.s=s。同時，這種作用是滿足結合律的，即先進行g1的作用再進行g2的作用，與先進行g2的作用再進行g1的作用結果相同。
群在集合上的作用在數學中有廣泛的套用，例如在群論、表示論、物理等領域。例如，群作用可以用於定義群的表示，即群在向量空間上的作用。此外，群作用也可以用於研究集合的性質，例如通過研究群在特定集合上的各種作用來研究群本身。在物理學中，群作用可以用於描述對稱性，例如Heisenberg群作用在量子力學中的套用。
總的來說，群在集合上的作用是群論中的一個重要概念，它不僅有助於我們理解群的結構和性質，也為我們提供了研究其他數學領域和物理現象的工具。