運算元半群

運算元半群是依賴於參數的運算元族，主要研究各種類型的運算元半群和它們的生成元的特性，以及指數公式的各種表達形式。

設X是線性空間，Tt(t≥0或t>0)是X上的線性運算元。如果對任何t，t≥0或t>0，有T=T+t，則稱{T|t≥0或t>0}為單參數運算元半群，或簡稱運算元半群。顯然，運算元半群即把參數t的加法半群（因限制t≥0或t>0故僅是加法半群）變成運算元（按運算元乘法）的半群。對於半群{T|t≥0}，通常總加上假設T=I。

在泛函分析中，通常要假設X是巴拿赫空間或拓撲線性空間（重要的是局部凸拓撲線性空間），並且把{T|t≥0或t>0}視定義在[0,+∞)或(0,+∞)上運算元值函式時，還要假設有某種連續性，具體可見C類運算元半群，C類等度連續運算元半群，解析運算元半群等。上面談的是線性運算元半群，此外還有非線性運算元半群。

運算元半群理論是泛函分析的重要分支之一，主要研究各種類型的運算元半群和生成元的特徵，以及指數公式的各種表達形式。它在微分方程、機率論（馬氏過程）、系統理論、逼近論和量子理論中是經常出現的。