部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）是一種用於將有理函式表示為更簡單形式的數學方法。它特別適用於將有理函式轉換為多個分子和分母次數較低的有理函式之和。這種分解的主要目的是簡化有理函式的處理，例如在計算導數、反導數、積分、冪級數展開、傅立葉級數、留數等時，可以通過分別處理這些簡單的有理函式來簡化計算過程。
部分分式分解的基本條件包括：
分式的分母必須是不可約多項式或其冪。
分子的多項式次數必須低於其分母多項式的次數。
分解過程通常涉及以下步驟：
因式分解：首先對有理函式分母的多項式進行因式分解，得到所有不可約的多項式因式。
確定分式的形式：根據分母的因式，確定部分分式的形式。每個分式以一個不可約多項式的冪作為分母，分子則是次數低於分母的任意多項式。
求解係數：通過設定方程組（例如，通過比較係數或使用特定的數值代入），求解各個分式的分子係數。
部分分式分解的一個具體例子：考慮有理函式 ( \frac{x+1}{x^2+2x+2} )，其分母可以表示為 ( (x+1)^2+1 ) 的形式，這是一個不可約多項式。因此，該有理函式可以通過部分分式分解為 ( \frac{A}{x+1+i} + \frac{B}{x+1-i} )，其中 ( A ) 和 ( B ) 是待求係數。通過比較係數或數值代入，可以求解出 ( A ) 和 ( B ) 的值。
部分分式分解在數學和工程領域有著廣泛的套用，特別是在處理複雜的數學表達式和解決實際問題時，它提供了一個有效的工具來簡化計算過程。