對於重根的特徵向量,有以下定義和性質:
定義:如果矩陣$A$的特徵值$\lambda$是$m$重的,那麼對應於$\lambda$的線性無關的特徵向量至少有$m$個。
性質:
如果存在一個特徵值$\lambda$是$m$重的,它對應的特徵向量的個數小於$m$,則它們必線性相關。
如果存在一個特徵值$\lambda$是$m$重的,它對應的特徵向量的個數等於$m$,並且這$m$個特徵向量線性無關,那麼它們必線性無關。
如果存在一個特徵值$\lambda$是$m$重的,它對應的特徵向量的個數大於$m$個,並且這$m$個特徵向量線性無關,那麼它們必線性無關。
計算方法:對於特徵值是重根的情況,需要使用擴展特徵空間來求解對應的特徵向量。假設特徵值為$\lambda$,重數為$m$,對應特徵向量為$x$,可以表示為$(A-\lambda I)x = 0$。在求解時,除了要進行高斯消元或其他行變換方法外,還需要注意對於每個重數出現的線性無關的特徵向量。
注意事項:在實際計算中,如果一個矩陣的特徵值$\lambda$是$m$重的,那麼它對應的特徵向量的個數通常會大於$m$,但是它們不一定線性無關。因此,需要使用其他方法來判別它們是否線性無關。在判斷特徵向量是否線性無關時,可以使用格拉布定理來簡化計算。
以上性質和計算方法在微積分中用於求解常微分方程組,以及在機器學習中用於訓練神經網路模型等方面有著重要的套用。