根據題意，我們有一個數，它除以3餘1，除以5餘2，除以7餘3。我們需要找到滿足這些條件的最小的數。
首先，考慮除以3餘1的條件，我們可以表示這個數為 \(3k + 1\)，其中 \(k\) 是一個整數。
接著，考慮除以5餘2的條件，我們可以表示這個數為 \(5j + 2\)，其中 \(j\) 是一個整數。
最後，考慮除以7餘3的條件，我們可以表示這個數為 \(7i + 3\)，其中 \(i\) 是一個整數。
綜合以上條件，我們得到 \(3k + 1 = 5j + 2 = 7i + 3\)。為了找到滿足這些條件的最小數，我們可以從最小的可能的值開始測試，即 \(i = 0\)，此時 \(7i + 3 = 3\)。但是，3不滿足除以5餘2的條件。因此，我們嘗試下一個值，\(i = 1\)，此時 \(7i + 3 = 10\)，這也不滿足條件。繼續嘗試，當 \(i = 2\) 時，\(7i + 3 = 17\)，這也不滿足條件。但是，當 \(i = 3\) 時，\(7i + 3 = 24\)，這時我們得到一個數，它同時滿足除以3餘1、除以5餘2、除以7餘3的條件。這個數是 \(24\)。
因此，滿足條件的最小的數是24。這個數可以表示為 \(7 \times 3 + 3\)，這樣它同時滿足除以3餘1、除以5餘2、除以7餘3的條件。