階乘函式，通常表示為n!，是數學中的一個基本概念，具體定義如下：
定義：一個正整數n的階乘，寫作n!，是指所有小於及等於n的正整數的乘積。例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
遞歸定義：0的階乘定義為1（0! = 1），而對於n > 0，n!可以通過遞歸定義為n! = n × (n-1)!。
擴展定義：階乘的概念可以通過伽瑪函式擴展到負整數和分數，甚至複數。例如，雙階乘（n!!）和hyper階乘（H(n)）提供了對階乘概念的進一步推廣。
計算方法：
對於較小的數值，可以直接計算階乘。
對於較大的數值，可以使用斯特林公式進行估計，這是一個更精確的估計方法。
編程實現：
在程式語言中，可以通過遞歸函式來實現階乘的計算。例如，在C語言中，可以通過遞歸函式來計算階乘。
套用：
階乘函式在數學、物理學和工程學中有廣泛的套用，包括排列組合問題、機率計算和特殊函式的定義。
綜上所述，階乘函式不僅是數學中的一個基本概念，也是理解和套用遞歸思想的重要工具。通過對其定義、計算方法和套用的探討，我們可以更深入地理解階乘函式的本質和重要性。