黎曼和公式是數學中用於求和的一種方法，它可以將一系列離散的數據點通過積分的形式進行求和。具體的黎曼和公式可以表示為：
[ S \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i^*) \Delta x ]
其中，( f(x) ) 是被積函式，( x_i^* ) 是小區間 ( [x_i, x_{i+1}] ) 上的某一點，( \Delta x ) 是小區間的長度。這個公式是黎曼和公式的一般形式，它可以通過調整 ( x_i^* ) 的取值來適應不同的積分計算需求。
在實際套用中，黎曼和公式可以通過不同的方式來近似計算定積分，例如通過右端點、左端點或者中點來取值 ( x_i^* )。以下是一些具體的例子：
右端點取值：( x_i^* = x_i )，即小區間的右端點。這種情況下，黎曼和公式變為：
[ S \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x ]
這種取法對應的黎曼和公式可以表示為：( \sin[\pi + (0 - \pi)i/n] )。
左端點取值：( x_i^* = x_{i+1} - \Delta x )，即小區間的左端點減去一個小區間的長度。這種情況下，黎曼和公式變為：
[ S \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i+1} - \Delta x) \Delta x ]
中點取值：( x_i^* = (x_i + x_{i+1}) / 2 )，即小區間的中點。這種情況下，黎曼和公式變為：
[ S \approx \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) \Delta x ]
以上各種取法都可以用來近似計算定積分，但不同的取法可能會導致不同的計算精度。在實際套用中，可以根據需要選擇合適的取法來進行計算。