歐拉公式是關於複數指數函式和三角函式之間的一個重要關係，它表達了複數指數函式可以表示為三角函式的線性組合。具體來說，對於餘弦函式，歐拉公式可以表示為：
餘弦函式的歐拉公式：
[ \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} ]
這個公式的推導基於複數指數函式的泰勒展開和三角函式的定義。具體過程如下：
複數指數函式的泰勒展開：
( e^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \ldots )
三角函式的定義：
( \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots )
( \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots )
推導餘弦函式的歐拉公式：
將 ( ix ) 替換 ( x ) 在 ( e^z ) 的泰勒展開中，得到 ( e^{ix} )。
通過比較 ( e^{ix} ) 和 ( e^{-ix} ) 的泰勒展開，可以發現它們與 ( \cos(x) ) 和 ( \sin(x) ) 的關係。
最終，通過一系列的代數操作，可以得到餘弦函式的歐拉公式。
通過這個過程，我們可以看到歐拉公式不僅是一個數學上的奇蹟，它還深刻地連線了複數指數函式和三角函式，展示了數學中不同概念之間的深刻聯繫。