餘弦三倍角公式為：
形式1: \( \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \)
形式2: \( \cos 3\theta = 4\cos(\theta + 60^\circ)\cos(\theta - 60^\circ) \)
這兩種形式是等價的，可以通過三角函式的和差化積公式進行轉換。在形式2中，\( \theta + 60^\circ \) 和 \( \theta - 60^\circ \) 是通過在 \( \theta \) 的基礎上分別加上和減去 \( 60^\circ \) 得到的。這種表示方法提供了另一種記憶和理解三倍角公式的方式。
推導過程:
形式1的推導:
從正弦三倍角公式 \( \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha \) 開始。
使用恆等式 \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) 來表達 \( \sin^3\alpha \) 為 \( \sin\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - \cos^2\alpha) \)。
套用和差化積公式，得到 \( \cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha \)。
形式2的推導:
使用和差化積公式，將 \( \cos(\theta + 60^\circ) \) 和 \( \cos(\theta - 60^\circ) \) 展開。
通過三角函式的和差公式，將展開後的表達式合併，最終得到 \( \cos 3\alpha = 4\cos(\theta + 60^\circ)\cos(\theta - 60^\circ) \)。
這兩種形式的推導過程展示了如何從正弦三倍角公式推導出餘弦三倍角公式，以及如何利用三角函式的和差化積公式進行轉換。