LU分解是一種矩陣分解方法，將一個矩陣表示為一個下三角矩陣(L)和一個上三角矩陣(U)的乘積，即A=LU。在LU分解中，L是一個單位對角線元素的下三角矩陣，而U是一個上三角矩陣。這種分解在數值分析和科學計算中有廣泛套用，例如用於解線性方程組和計算矩陣的行列式和逆矩陣。
在MATLAB中，LU分解可以通過lu()函式來實現。這個函式有幾種不同的調用方式：
[L,U] = lu(X)：X是一個方陣，L和U分別是下三角矩陣和上三角矩陣，滿足關係X=L*U。
[L,U,P] = lu(X)：X是一個方陣，L和U分別是下三角矩陣和上三角矩陣，P是置換矩陣，滿足關係PX=LU。
Y = lu(X)：X是一個方陣，Y是合併了L和U的矩陣，即Y=L+U-I。置換矩陣P的信息丟失。
此外，MATLAB還提供了luinc()函式來進行不完全LU分解，這是對稀疏矩陣的一種最佳化處理。不完全LU分解允許在分解過程中丟失一些元素，以減少計算量和存儲需求。luinc()函式有幾種不同的調用方式，包括指定丟失容限(DROPTOL)、是否採用改進算法(MICHOL)、是否替換對角線上的零值(RDIAG)以及旋轉因子的閾值(THRESH)。
通過LU分解，可以快速解線性方程組AX=B，其中A已經通過LU分解表示為L*U。由於L和U都是三角矩陣，可以使用前向替換和後向替換算法快速求解X。此外，LU分解也可以用來計算矩陣的行列式和逆矩陣。