PCA（主成分分析）是一種廣泛使用的數據降維算法，其核心思想是將原始數據從高維空間映射到低維空間，同時儘可能保留數據中的主要信息。具體來說，PCA通過找到一個新的坐標系統，其中每個坐標軸（即主成分）是原始數據協方差矩陣的特徵向量。第一個主成分對應於最大的特徵值，表示數據中最大的方差，第二個主成分對應於第二大的特徵值，依此類推。這樣，通過選擇前k個主成分，可以在降低維度的同時保留大部分信息。
在數學上，PCA可以通過以下步驟描述：
數據預處理：首先對數據進行中心化處理，即減去均值，以確保數據的均值為0。
計算協方差矩陣：然後計算數據點之間方差的協方差矩陣。
特徵值分解：對協方差矩陣進行特徵值分解，得到特徵向量和特徵值。
選擇主成分：選擇前k個最大的特徵值對應的特徵向量作為新的坐標軸。
投影數據：將原始數據投影到新的坐標軸上，得到降維後的數據。
通過這種方式，PCA能夠在降低數據維度的同時，儘可能地保留數據中的關鍵信息，使得降維後的數據在保持原有特徵的同時，更加易於分析和處理。