t分布是統計學中一個重要的概念，尤其在假設檢驗和方差分析中發揮著關鍵作用。以下是t分布的定義、性質和套用：
定義：
當數據點的權重相等時，t分布定義為均值的平方除以標準差的平方。
當數據點的權重不相等時，t分布定義為每個數據點乘以相應的權重之和除以標準差的平方。
性質：
t分布的期望和方差分別為0和n/(n-2)，其中n是自由度。
當樣本數量足夠大時，t分布與常態分配幾乎完全重合，表明在大量樣本的情況下，t分布趨向於常態分配。
套用：
t分布主要用於比較兩個樣本的均值是否存在顯著性差異，這在假設檢驗中尤為重要。
在進行假設檢驗時，需要設定原假設和備擇假設，以及選擇顯著性水平（如0.05或0.01）。如果計算出的p值小於顯著性水平，則拒絕原假設。
數學定義：
如果X∼N(0,1)（標準常態分配）且Y∼χ^2(n)（卡方分布），則t=X/√(Y/n)服從自由度為n的t分布，記為t∼t(n)。其機率密度函式為h(t)=Γ[(n+1)/2]π^(-n/2)Γ(n/2)(1+t^2/n)^(-(n+1)/2)。
通過以上信息，我們可以看到t分布在統計學中的重要性以及其與常態分配的關係。在使用t分布進行假設檢驗時，理解其定義、性質和套用是非常關鍵的。