ZFC公理系統是由德國數學家策梅洛(Zermelo)、奧地利數學家弗倫克爾(Fraenkel)等人提出的,旨在通過一系列公理來定義集合的基本概念和結構。這些公理包括:
外延公理(ZF1)。規定兩個集合如果包含相同的元素,則它們是相等的。
空集合存在公理(ZF2)。斷言存在一個不含任何元素的集合。
無序對公理(ZF3)。表明對於任意兩個集合x和y,存在一個集合z,其元素要麼屬於x,要麼屬於y。
併集公理(ZF4)。指出對於任意集合x,存在一個集合y,其中y的元素是由x中所有元素的元素組成的。
冪集公理(ZF5)。指出對於任意集合x,存在一個集合y,其中y的每個子集都包含x中的一個元素。
無窮公理(ZF6)。斷言存在一個集合,其元素包括所有自然數。
分離公理模式(ZF7)。表明對於任意集合x和x上的邏輯謂詞P(z),存在一個集合y,其中y的元素滿足P(z)且來自x。
替換公理模式(ZF8)。表明對於任意集合x和函式F,存在一個集合y,其中y的元素是由F(x)生成的。
正則公理(ZF9)。指出所有集合都是良基的,即不存在一個元素既是其自身元素的成員又是其成員的集合的成員。
這些公理共同構成了ZFC公理系統的核心,為現代集合論提供了堅實的數學基礎。