三垂線定理的證明可以按照以下步驟進行：
定義與假設：
設有平面α，直線PA是平面α的垂線，直線l是平面α上的斜線，與平面α相交於點B，直線m是平面α內的直線。
假設m⊥AB（m與斜線l在平面α上的射影垂直）。
證明過程：
由於PA⊥α且m在α內，因此PA⊥m，即直線m與垂線PA垂直。
又因為AB在平面PAB內，所以直線m⊥平面PAB，進而m⊥l，即直線m與斜線l垂直。
結論：
根據上述證明，如果平面內的一條直線與該平面的斜線在平面上的射影垂直，則該直線與斜線垂直。
補充說明：
三垂線定理的逆定理同樣成立，即如果面內直線和斜線垂直，則必與斜線的射影垂直。
該定理在立體幾何中有著廣泛的套用，特別是在證明線線垂直關係時非常有用。
通過以上步驟，我們可以清晰地理解並證明三垂線定理。